2012河南成人高考數(shù)學輔導培訓復習試卷(文史類)十六大題型分類解析
一、集合與簡易邏輯
2001年
(1) 設全集，，，則是（ ）
(A) (B) (C) (D)
(2) 命題甲：A=B，命題乙： . 則（ ）
(A) 甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件； (B) 甲是乙的充分必要條件；
(C) 甲是乙的必要條件但不是充分條件； (D) 甲是乙的充分條件但不是必要條件。
2002年
（1） 設集合，集合，則等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
（2） 設甲：，乙：，則（ ）
（A）甲是乙的充分條件但不是必要條件； （B）甲是乙的必要條件但不是充分條件；
（C）甲是乙的充分必要條件； （D）甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件.
2003年
（1）設集合，集合，則集合M與N的關系是
（A） （B） （C） （D）
（9）設甲：，且 ；乙：直線與平行。則
（A）甲是乙的必要條件但不是乙的充分條件； （B）甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件；
（C）甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件； （D）甲是乙的充分必要條件。
2004年
（1）設集合，，則集合
（A） （B） （C） （D）
（2）設甲：四邊形ABCD是平行四邊形 ；乙：四邊形ABCD是平行正方，則
（A）甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件； （B）甲是乙的必要條件但不是乙的充分條件；
（C）甲是乙的充分必要條件； （D）甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件.
2005年
（1）設集合，，則集合
（A） （B） （C） （D）
（7）設命題甲：，命題乙：直線與直線平行，則
（A）甲是乙的必要條件但不是乙的充分條件； （B）甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件；
（C）甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件； （D）甲是乙的充分必要條件。
2006年
（1）設集合，，則集合
（A） （B） （C） （D）
（5）設甲：；乙： .
（A）甲是乙的充分條件但不是乙的必要條件； （B）甲是乙的必要條件但不是乙的充分條件；
（C）甲不是乙的充分條件也不是乙的必要條件； （D）甲是乙的充分必要條件。
2007年
（8）若為實數(shù)，設甲：；乙：，。則
（A）甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件； （B）甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件；
（C）甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件； （D）甲是乙的充分必要條件。
2008年
（1）設集合，，則
（A） （B） （C） （D）
（4）設甲：，則
（A）甲是乙的必要條件，但不是乙的充分條件； （B）甲是乙的充分條件，但不是乙的必要條件；
（C）甲不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件； （D）甲是乙的充分必要條件。
二、不等式和不等式組
2001年
(4) 不等式的解集是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2002年
（14） 二次不等式的解集為（ ）
（A） （B）（C） （D）
2003年
（5）、不等式 的解集為（ ）
（A） （ B） （C） （D）
2004年
（5）不等式的解集為
（A） （B） （C） （D）
2005年
（2）不等式的解集為
（A） （B） （C） （D）
2006年
（2）不等式的解集是
（A）（B）（C）（D）
（9）設，且，則下列不等式中，一定成立的是
（A） （B） （C） （D）
2007年
（9）不等式的解集是
（A） （B） （C） （D）
2008年
（10）不等式的解集是
（A） （B） （C） Ö（D）
(由 )
三、指數(shù)與對數(shù)
2001年
(6) 設，，，
則的大小關系為（ ）
(A) (B)
(C) (D)
(是減函數(shù),時,為負；是增函數(shù)，時為正.故 )
2002年
（6） 設，則等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
（10） 已知，則等于（ ）
（A） （B） （C）1 （D）2
（16） 函數(shù)的定義域是。
2003年
（2）函數(shù)的反函數(shù)為
（A） （B）
（C） （D）
（6）設，則下列不等式成立的是
（A） （B） （C） （D）
（8）設，則等于
（A）10 （B）0.5 （C）2 （D）4
[ ]
2004年
（16） 12
2005年
（12）設且，如果，那么
（A） （B） （C） （D）
2006年
（7）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是
（A） （B） （C） （D）
（13）對于函數(shù)，當時，的取值范圍是
（A） （B） （C） （D）
（14）函數(shù)的定義域是
（A） （B） （C） （D）
（19）-1
2007年
（1）函數(shù)的定義域為
（A）R （B） （C） （D）
（2）
（A）3 （B）2 （C）1 （D）0
（5）的圖像過點
（A） （B） （C） （D）
（15）設，則
（A） （B） （C） （D）
2008年
（3）
（A）9 （B）3 （C）2 （D）1
（6）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是
（A） （B） （C） （D）
（7）下列函數(shù)中，函數(shù)值恒大于零的是
（A） Ö（B） （C） （D）
（9）函數(shù)的定義域是
（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（-∞，3]
[由得，由得，故選（C）]
（11）若，則
（A） （B） （C） （D）
四、函數(shù)
2001年
(3) 已知拋物線的對稱軸方程為 ,則這條拋物線的頂點坐標為（ ）
(A) (B) (C) (D)
(7) 如果指數(shù)函數(shù)的圖像過點，則的值為（ ）
(A) 2 (B) (C) (D)
(10) 使函數(shù)為增函數(shù)的區(qū)間是（ ）
(A) (B) (C) (D)
(13)函數(shù)是（ ）
(A) 是奇函數(shù) (B) 是偶函數(shù)
(C) 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) (D) 既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)
(16) 函數(shù)的定義域為____________。
(21) (本小題11分) 假設兩個二次函數(shù)的圖像關于直線對稱，其中一個函數(shù)的表達式為 ,求另一個函數(shù)的表達式。
解法一 函數(shù)的對稱軸為，
頂點坐標:，
設函數(shù)與函數(shù)關于對稱，則
函數(shù)的對稱軸
頂點坐標: ，
由得：，
由得：
所以，所求函數(shù)的表達式為
解法二 函數(shù)的對稱軸為，所求函數(shù)與函數(shù)關于對稱，則所求函數(shù)由函數(shù)向軸正向平移個長度單位而得。
設是函數(shù)上的一點，點是點的對稱點，則
，，將代入
得: .即為所求。
(22) (本小題11分) 某種圖書定價為每本元時，售出總量為本。如果售價上漲 %，預計售出總量將減少 %，問為何值時這種書的銷售總金額最大。
解 漲價后單價為元/本，售量為本。設此時銷售總金額為，則：
，令，得
所以，時，銷售總金額最大。
2002年
（9） 若函數(shù)在上單調，則使得必為單調函數(shù)的區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
（10） 已知，則等于（ ）
（A） （B） （C）1 （D）2
，
（13） 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（21）（本小題12分） 已知二次函數(shù)的圖像與軸有兩個交點，且這兩個交點間的距離為2，求的值。
解 設兩個交點的橫坐標分別為和，則和是方程的兩個根，
得：，
又得：，
（22）（本小題12分） 計劃建造一個深為，容積為的長方體蓄水池，若池壁每平方米的造價為20元，池底每平方米的造價為40元，問池壁與池底造價之和最低為多少元？
解 設池底邊長為、，池壁與池底造價的造價之和為，則，
故當，即當時，池壁與池底的造價之和最低且等于：
答：池壁與池底的最低造價之和為22400元
2003年
（3）下列函數(shù)中，偶函數(shù)是
（A） （B） （C） （D）
（10）函數(shù)在處的導數(shù)為
（A）5 （B）2 （C）3 （D）4
（11）的定義域是
（A） （B） （C） （D）
（17）設函數(shù)，則函數(shù)
（20）（本小題11分） 設，，，，求的值.
解 依題意得：
， ，
（21）（本小題12分） 設滿足，求此函數(shù)的最大值.
解 依題意得：
，即，得：
，
可見，該函數(shù)的最大值是8（當時）
2004年
（10）函數(shù)
（A）是偶函數(shù) （B）是奇函數(shù) （C）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) （D）既不是奇函數(shù)也又是偶函數(shù)
（15），則
（A）27 （B）18 （C）16 （D）12
（17） -13
，
（20）（本小題滿分11分） 設函數(shù)為一次函數(shù)，，，求
解 依題意設，得，得，，
（22）（本小題滿分12分） 在某塊地上種葡萄，若種50株，每株產葡萄；若多種一株，每株減產。試問這塊地種多少株葡萄才能使產量達到最大值，并求出這個最大值.
解 設種（）株葡萄時產量為S，依題意得
，，
所以，種60株葡萄時產量達到最大值，這個最大值為3600 .
2005年
（3）設函數(shù)，則
（A） （B） （C） （D）
（6）函數(shù)的定義域是
（A） （B） （C） （D）
（9）下列選項中正確的是
（A） 是偶函數(shù) （B） 是奇函數(shù)
（C） 是偶函數(shù) （D） 是奇函數(shù)
（18）設函數(shù)，且，，則的值為 7
注：
（23）（本小題滿分12分）
已知函數(shù)的圖像交y軸于A點，它的對稱軸為；函數(shù)的圖像交y軸于B點，且交于C.
（Ⅰ）求的面積
（Ⅱ）設，求AC的長
解（Ⅰ）的對稱軸方程為：
依題意可知各點的坐標為、、
得：
在中，AB邊上的高為1（），因此，
（Ⅱ）當時，點C的坐標為C（1，3），故
2006年
（4）函數(shù)的一個單調區(qū)間是
（A） （B） （C） （D）
（7）下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是
（A） （B） （C） （D）
（8）設一次函數(shù)的圖像過點（1，1）和（-2，0），則該函數(shù)的解析式為
（A） （B） （C） （D）
（10）已知二次函數(shù)的圖像交軸于（-1，0）和（5，0）兩點，則該圖像的對稱軸方程為
（A） （B） （C） （D）
（17）已知P為曲線上的一點，且P點的橫坐標為1，則該曲線在點P處的切線方程是
（A） （B） （C） （D）
（20）直線的傾斜角的度數(shù)為
2007年
（1）函數(shù)的定義域為
（A）R （B） （C） （D）
（5）的圖像過點
（A） （B） （C） （D）
（6）二次函數(shù)圖像的對稱軸方程為
（A） （B） （C） （D）
（7）下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)的是
（A） （B） （C） （D）
（10）已知二次函數(shù)的圖像過原點和點，則該二次函數(shù)的最小值為
（A）－8 （B）－4 （C）0 （D）12
（18）函數(shù)在點處的切線方程為
（21）設，則
2008年
（5）二次函數(shù)圖像的對稱軸方程為
（A） （B） （C） （D）
（6）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是
（A） （B） （C） （D）
（7）下列函數(shù)中，函數(shù)值恒大于零的是
（A） （B） （C） （D）
（8）曲線與直線只有一個公共點，則k=
（A）-2或2 （B）0或4 （C）-1或1 （D）3或7
（9）函數(shù)的定義域是
（A）（0，∞） （B）（3，∞） Ö（C）(0，3] （D）（-∞，3]
[由得，由得，故選（C）]
（13）過函數(shù)上的一點P作軸的垂線PQ，Q為垂足，O為坐標原點，則的面積為
（A）6 （B）3 （C）12 （D）1
[設Q點的坐標為，則 ]
五、數(shù)列
2001年
(11) 在等差數(shù)列中，，前5項之和為10，前10項之和等于（ ）
(A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70
注：，
(23) (本小題11分) 設數(shù)列，滿足，且。
(i)求證和都是等比數(shù)列并求其公比；
(ii)求，的通項公式。
證(i)
:
:
可見與的各項都不為0.
， 所以，是等比數(shù)列且其公比為
所以，是等比數(shù)列且其公比為
(ii) 由得
， 得：
2002年
（12） 設等比數(shù)列的公比，且，則等于（ ）
（A）8 B．16 （C）32 （D）64
（24）（本小題12分）數(shù)列和數(shù)列的通項公式分別是，。
（Ⅰ）求證是等比數(shù)列；
（Ⅱ）記，求的表達式。
證（Ⅰ）因，，故為正數(shù)列。當時
可見的公比是常數(shù)，故是等比數(shù)列。
（Ⅱ）由，得：
2003年
（23）已知數(shù)列的前項和 .
（Ⅰ）求的通項公式，
（Ⅱ）設，求數(shù)列的前n項和.
解（Ⅰ）當時，，故，
當時，，
故，，所以，
（Ⅱ），
∵ ，∴不是等比數(shù)列
∵， ∴是等差數(shù)列
的前n項和：
2004年
（7）設為等差數(shù)列，，，則
（A）24 （B）27 （C）30 （D）33
（23）（本小題滿分12分） 設為等差數(shù)列且公差d為正數(shù)，，，，成等比數(shù)列，求和 .
解 由，得，
由，，成等比數(shù)列，得
由，得，
2005年
（13）在等差數(shù)列中，，，則
（A）19 （B）20 （C）21 （D）-22
（22）（本小題滿分12分） 已知等比數(shù)列的各項都是正數(shù)，，前3項和為14。求：
（Ⅰ）數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）設，求數(shù)列的前20項之和。
解（Ⅰ），
得，，所以，
（Ⅱ），
數(shù)列的前20項的和為
2006年
（6）在等差數(shù)列中，，，則
（A）-11 （B）-13 （C）-15 （D）-17
（22）（本小題12分） 已知等比數(shù)列中，，公比。求：
（Ⅰ）數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）數(shù)列的前7項的和。
解（Ⅰ），，，
（Ⅱ）
2007年
（13）設等比數(shù)列的各項都為正數(shù)，，，則公比
（A）3 （B）2 （C）－2 （D）－3
（23）（本小題滿分12分） 已知數(shù)列的前n項和為 ,
（Ⅰ）求該數(shù)列的通項公式；
（Ⅱ）判斷是該數(shù)列的第幾項.
解（Ⅰ） 當時，
當時，，滿足，
所以，
（Ⅱ） ，得 .
2008年
（15）在等比數(shù)列中, ，，
（A）8 （B）24 （C）96 （D）384
（22）已知等差數(shù)列中，，
（Ⅰ）求等差數(shù)列的通項公式
（Ⅱ）當為何值時，數(shù)列的前項和取得最大值，并求該最大值
解（Ⅰ）設該等差數(shù)列的公差為，則
，，
將代入得：，
該等差數(shù)列的通項公式為
（Ⅱ）數(shù)列的前項之和
，，
六、導數(shù)
2001年
(22) (本小題11分) 某種圖書定價為每本元時，售出總量為本。如果售價上漲 %，預計售出總量將減少 %，問為何值時這種書的銷售總金額最大。
解 漲價后單價為元/本，售量為本。設此時銷售總金額為，則：
, 令，得
所以，時，銷售總金額最大。
2002年
（7） 函數(shù)的最小值是
（A） （B） （C） （D）
（22）（本小題12分） 計劃建造一個深為，容積為的長方體蓄水池，若池壁每平方米的造價為20元，池底每平方米的造價為40元，問池壁與池底造價之和最低為多少元？
解 設池底邊長為、，池壁與池底造價的造價之和為，則，
答：池壁與池底的最低造價之和為22400元
2003年
（10）函數(shù)在處的導數(shù)為
（A）5 （B）2 （C）3 （D）4
2004年
（15），則
（A）27 （B）18 （C）16 （D）12
2005年
（17）函數(shù)在處的導數(shù)值為 5
（21）求函數(shù)在區(qū)間的最大值和最小值（本小題滿分12分）
解 令，得，（不在區(qū)間內，舍去）
可知函數(shù)在區(qū)間的最大值為2，最小值為-2.
2006年
（17）已知P為曲線上的一點，且P點的橫坐標為1，則該曲線在點P處的切線方程是
（A） （B） （C） （D）
2007年
（12）已知拋物線上一點P到該拋物線的準線的距離為5，則過點P和原點的直線的斜率為
（A） （B） （C） （D）
（18）函數(shù)在點（1，2）處的切線方程為
［，，即］
（8）曲線與直線只有一個公共點，則
（A）-2或2 （B）0或4 （C）-1或1 （D）3或7
（25）已知函數(shù)，且
（Ⅰ）求的值
（Ⅱ）求在區(qū)間上的最大值和最小值
解（Ⅰ），，
（Ⅱ）令，得：，，
，，，，
所以，在區(qū)間上的最大值為13，最小值為4.
七、平面向量
2001年
(18)過點且垂直于向量的直線方程為。
2002年
（17）已知向量，向量與方向相反，并且，則等于。
解 設，因向量與方向相反（一種平行），故，即，
將①與②組成方程組： ，解得：，故
也可這樣簡單分析求解：
因，，是的二倍，與方向相反，故
2003年
(13)已知向量、滿足，，，則
（A） （B） （C）6 （D）12
2004年
（14）如果向量，，則等于
（A）28 （B）20 （C）24 （D）10
2005年
（14）已知向量滿足，，且和的夾角為，則
（A） （B） （C）6 （D）-6
2006年
（3）若平面向量，，，則的值等于
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2007年
（3）已知平面向量，，則
（A） （B） （C） （D）
2008年
（18）若向量，，，則
八、三角的概念
2001年
(5) 設角的終邊通過點，則等于（ ）
(A) (B) (C) (D)
（5） 已知，，則等于（ ）
（A） （B） （C）1 （D）－1
2003年
（4）已知，則
（A） （B） （C） （D）
2007年
（11）設，為第二象限角，則
（A） （B） （C） （D）
九、三角函數(shù)變換
2002年
（3） 若，，則等于（ ）
（A） （B） （C） （D）
2003年
（19）函數(shù)的最大值是
2004年
（9）
（A） （B） （C） （D）
（17）函數(shù)的最小值為 -13
2005年
（10）設，，則
（A） （B） （C） （D）
2006年
（12）在中，，則的值等于
（A） （B） （C） （D）
2007年
（19）的值為
十、三角函數(shù)的圖像和性質
2001年
(14)函數(shù)的最小正周期和最大值分別是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2005年
（4）函數(shù)的最小正周期是
（A） （B） （C） （D）
（20）（本小題滿分11分）
（Ⅰ）把下表中的角度值化為弧度值，計算的值填入表中：
（Ⅱ）參照上表中的數(shù)據(jù)，在下面的直角坐標系中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖像
解（Ⅰ）
|
的角度值
|
|
的弧度值
|
0
|
|
(精確到0.0001)
|
0
|
0.0019
|
0.0159
|
0.0553
|
0.1388
|
0.2929
|
（Ⅱ）
2006年
（18）函數(shù)的最小正周期是
2007年
(4)函數(shù)的最小正周期為
（A） （B） （C） （D）
2008年
（2）函數(shù)的最小正周期是
（A） （B） （C） （D）
十一、解三角形
2001年
(20) (本小題11分) 在中，已知，，，求（用小數(shù)表示，結果保留到小數(shù)點后一位）。
解 ， ，
2002年
（20)（本小題11分） 在中，已知，且，求（精確到）。
解
2003年
（22）（本小題12分）
如圖，某觀測點B在A地南偏西方向，由A地出發(fā)有一條走向為南偏東的公路，由觀測點B發(fā)現(xiàn)公路上距觀測點的C點有一汽車沿公路向A駛去，到達D點時，測得，，問汽車還要行駛多少km才可到達A地（計算結果保留兩位小數(shù)）
解
∵，，
∴是等邊直角三角形，
答：為這輛汽車還要行駛才可到達A地
2004年
（21）（本小題滿分12分） 已知銳角的邊長AB=10，BC=8，面積S=32.求AC的長（用小數(shù)表示，結果保留小數(shù)點后兩位）
2006年
（23）（本小題12分） 已知在中，，邊長， .
（Ⅰ）求BC的長
（Ⅱ）求值
（Ⅱ）
2007年
（22）（本小題滿分12分） 已知的三個頂點的坐標分別為A（2，1）、B（1，0）、C（3，0），求
（Ⅰ）的正弦值；
（Ⅱ）的面積.
解（Ⅰ），
（Ⅱ）的面積
2008年
（20）在中，若，，，則AB=
（23）如圖，塔與地平線垂直，在點測得塔頂?shù)难鼋�，沿方向前進至點，測得仰角，A、B相距，求塔高。（精確到）
解 由已知條件得：，，
十二、直線
2001年
(18)過點且垂直于向量的直線方程 。
2002年
（4）點關于軸的對稱點的坐標為（ ）
（A） （B） （C） （D）
（18）在軸上截距為3且垂直于直線的直線方程為 。
（16）點到直線的距離為
2004年
（4）到兩定點和距離相等的點的軌跡方程為 .
（A） （B） （C） （D）
（12）通過點且與直線垂直的直線方程是 .
（A） （B） （C） （D）
（20）（本小題滿分11分） 設函數(shù)為一次函數(shù)，，，求
解 依題意設，得，得，，
2005年
（16）過點且與直線垂直的直線方程為
2006年
（8）設一次函數(shù)的圖像過點）和，則該函數(shù)的解析式為
（A） （B） （C） （D）
（20）直線的傾斜角的度數(shù)為
2008年
（14）過點且與直線垂直的直線方程為
（A） （B） （C） （D）
［直線的斜率為，所求直線的斜率為，由點斜式方程可知應選（A）］
（19）若是直線的傾斜角，則
十三、圓
2006年
（24）（本小題12分）
已知的圓心位于坐標原點, 與軸的正半軸交于A，與軸的正半軸交于B，
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）設P為上的一點，且，求點的坐標。
解（Ⅰ）依題設得，，
故的方程：
（Ⅱ）因為，，所以AB的斜率為。
過且平行于AB的直線方程為 .
由得：，
所以，點的坐標為或
2008年
（24）已知一個圓的圓心為雙曲線的右焦點，并且此圓過原點.
（Ⅰ）求該圓的方程；
（Ⅱ）求直線被該圓截得的弦長.
解（Ⅰ），
雙曲線的右焦點坐為 ，
圓心坐標，圓半徑為。
圓的方程為
（Ⅱ）因直線的傾角為，
故
所以，直線被該圓截得的弦長為
十四、圓錐曲線
2001年
(3) 已知拋物線的對稱軸方程為 ,則這條拋物線的頂點坐標為（ ）
(A) (B) (C) (D)
(8) 點為橢圓上一點，和是焦點，則的值為（ ）
(A) 6 (B) (C) 10 (D)
(9) 過雙曲線的左焦點的直線與這雙曲線交于A,B兩點，且，是右焦點，則的值為（ ）
(A) 21 (B) 30 (C) 15 (D) 27
，
(24) (本小題11分) 已知橢圓和點，設該橢圓有一關于 軸對稱的內接正三角形，使得為其一個頂點。求該正三角形的邊長。
解 設橢圓的關于 軸對稱的內接正三角形為，，則：
，，，，
由于，所以，
因，，，于是的邊長為
2002年
（8） 平面上到兩定點，距離之差的絕對值等于10的點的軌跡方程為（ ）
（A） （B） （C） （D）
（23）（本小題12分） 設橢圓的焦點在軸上，O為坐標原點，P、Q為橢圓上兩
點，使得OP所在直線的斜率為1，，若的面積恰為，求該橢圓的焦距。
解 設、，因，故 .又因所在直線的斜率為1，故
。
將代入，得：
，即，
解得：
由得該橢圓的焦距：
2003年
（14）焦點、且過點的雙曲線的標準方程為
（A） （B） （C） （D）
（15）橢圓與圓的公共點的個數(shù)是
（A）4 （B）2 （C）1 （D）0
（24）已知拋物線的焦點為F，點A、C在拋物線上（AC與軸不垂直）.
（Ⅰ）若點B在拋物線的準線上，且A、B、C三點的縱坐標成等差數(shù)列，求證；
（Ⅱ）若直線AC過點F，求證以AC為直徑的圓與定圓相內切.
證明：（Ⅰ）由得拋物線準線方程，
設、，則 ，
的斜率， 的斜率
∵ ， ∴
（Ⅱ）設的斜率為，則A、C、F所在的直線的方程為
設、，因A、C在拋物線上（AC與軸不垂直），故滿足下列方程組：
將①代入②消去得：
，，
因
故
將代入②消去得：，
因
故，，因此，以AC為直徑的圓的圓心為
因，，故，得：
AC為直徑的圓的半徑， 又定圓心為，半徑，可得
因此，這兩個圓相內切
2004年
（6）以橢圓的標準方程為的任一點（長軸兩端除外）和兩個焦點為頂點的三角形的周長等于
（A）12 （B） （C）13 （D）18
（13）如果拋物線上的一點到其焦點的距離為8，則這點到該拋物線準線的距離為
（A）4 （B）8 （C）16 （D）32
（24）（本小題滿分12分） 設A、B兩點在橢圓上，點是A、B的中點.
（Ⅰ）求直線AB的方程
（Ⅱ）若橢圓上的點C的橫坐標為，求的面積
解（Ⅰ）所求直線過點，由直線的點斜式方程得所求直線的方程為，
A、B兩點既在直線，又在橢圓，即A、B兩點的坐標滿足方程組
，將②代入①得：
此方程的判別式：
因此它有兩個不等的實數(shù)根、 .
由得：，解得
將代入得直線AB的方程：
（Ⅱ）將代入方程③，解得，又得，
即A、B兩點的坐標為A（0，1），B（2，0），于是
由于橢圓上的點C的橫坐標為，故點C的坐標為C（，）
點C到直線AB的距離為：
或
所以，的面積為：
或
2005年
（5）中心在原點，一個焦點在且過點的橢圓方程是
（A） （B） （C） （D）
（8）雙曲線的焦距是
（A） （B） （C）12 （D）6
（24）（本小題滿分12分）
如圖，設、是橢圓：長軸的兩個端點，
是的右準線，雙曲線：
（Ⅰ）求的方程；
（Ⅱ）設P為與的一個交點，直線PA1與的另一個交
點為Q，直線PA2與的另一個交點為R.求
解（Ⅰ）橢圓的半焦距，右準線的方程
（Ⅱ）由P為與的一個交點的設定，得或。由于是對稱曲線，故可在此兩點中的任意一點取作圖求，現(xiàn)以P進行計算。
由題設和直線的兩點式方程得PA1的方程為，PA2的方程為
解 得，解 得，
2006年
（15）設橢圓的標準方程為，則該橢圓的離心率為
（A） （B） （C） （D）
2007年
（12）已知拋物線上一點P到該拋物線的準線的距離為5，則過點P和原點的直線的斜率為
（A）或 （B） （C） （D）
（14）已知橢圓的長軸長為8，則它的一個焦點到短軸的一個端點的距離為
（A）8 （B）6 （C）4 （D）2
（24）（本小題12分）已知雙曲線的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于3，并且過點，求：
（Ⅰ）雙曲線的標準方程
（Ⅱ）雙曲線焦點坐標和準線方程
解（Ⅰ）由已知得雙曲線的標準方程為，
故，
將點代入，
得：
故雙曲線的標準方程為
（Ⅱ）雙曲線焦點坐標：，雙曲線準線方程：
十五、排列與組合
2001年
(12) 有5部各不相同的手機參加展覽，排成一行，其中2部手機來自同一廠家，則此2部手機恰好相鄰的排法總數(shù)為（ ）
(A) 24 (B) 48 (C) 120 (D) 60
解法一 分步法
①將同一廠家的2部手機看成“一”部手機，從“四”部手機任選“四”部的排列數(shù)為；
②被看成“一”部手機的二部手機可交換位置排列，排列數(shù)為。
根據(jù)分步計數(shù)原理，總排列數(shù)為
解法二 分類法
將同一廠家的2部手機看成手機“”.
①手機“”排在1位，有種排法（、、、、）；
②手機“”排在2位，有種排法；
③手機“”排在3位，有種排法；
④手機“”排在4位，有種排法；
上述排法共24種，每種排法中手機“”各有二種排法，故總排列數(shù)為：
2002年
（11） 用0，1，2，3可組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共有（ ）
（A）6個 （B）12個 （C）18個 （D）24個
解法一 ①從0，1，2，3這四個數(shù)字中取出四個數(shù)字的總排列數(shù)為；
②將0排在首位的排列數(shù)為，而0不能排在首位；
總排列數(shù)減去0排在首位的排列數(shù)即為所求。因此，用0，1，2，3可組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為
解法二 第一步：從1，2，3這三個數(shù)字中任取一個排在第一位，有種取法；
第二步：從剩下的三個數(shù)字中任取一個排在第二位，有種取法；
第三步：從剩下的二個數(shù)字中任取一個排在第三位，有種取法；
第四步：從剩下的一個數(shù)字中任取一個排在第四位，有種取法.
根據(jù)分步計數(shù)原理，可組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共有。
.
解法三 第一步：從1，2，3這三個數(shù)字中任取一個排在第一位，有種取法；
第二步：把剩下的三個數(shù)字分別排在百位、十位、個位，有種取法；
根據(jù)分步計數(shù)原理，可組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共有。
解法四 第一類：把0固定在個位上，1，2，3排在千位、百位、十位的排法有；
第二類：把0固定在十位上，1，2，3排在千位、百位、個位的排法有；
第三類：把0固定在百位上，1，2，3排在千位、十位、個位的排法有；
根據(jù)分類計數(shù)原理，可組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)共有：
2003年
（7）用0，1，2，3，4組成的沒有重復數(shù)字的不同3位數(shù)共有
（A）64個 （B）16個 （C）48個 （D）12個
解法一 ①從0，1，2，3，4這五個數(shù)字中取出三個數(shù)字的總排列數(shù)為；
②將0排在首位的排列數(shù)為，而0不能排在首位；
總排列數(shù)減去0排在首位的排列數(shù)即為所求。因此，用0，1，2，3可組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為
解法二 第一步：.從1，2，3，4這四個數(shù)字中任取一個排在第一位，有種取法；
第二步：從剩下的四個數(shù)字（含0）中任取一個排在第二位，有種取法；
第三步：從剩下的三個數(shù)字中任取一個排在第三位，有種取法；
根據(jù)分步計數(shù)原理，可組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共有。
.
解法三 第一步：從1，2，3，4這四個數(shù)字中任取一個排在第一位，有種取法；
第二步：從剩下的四個數(shù)字（含0）中任取二個排在十位、個位，有種取法；
根據(jù)分步計數(shù)原理，可組成沒有重復數(shù)字的四位數(shù)共有。
解法四 第一類：把0固定在個位上，1，2，3，4中任取二個排在百位、十位的排法有；
第二類：把0固定在十位上，1，2，3，4中任取二個排在百位、個位的排法有；
第三類：0不參加排列，1，2，3，4中任取三個的排法有；
根據(jù)分類計數(shù)原理，可組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)共有：
解法五 列舉法(麻煩且容易漏列，但直接明了)
第一類：1排在百位的數(shù)是，共12個；
第二類：2排在百位，與1排在百位同理，2排在百位的數(shù)也是12個；
第三類：3排在百位，與1排在百位同理，2排在百位的數(shù)也是12個；
第四類：4排在百位，與1排在百位同理，2排在百位的數(shù)也是12個；
根據(jù)分類計數(shù)原理，可組成沒有重復數(shù)字的三位數(shù)的個數(shù)共有：個。
2004年
（8）十位同學互贈賀卡，每人給其他同學各寄出賀卡一張，那么他們共寄出賀卡的張數(shù)是
（A）50 （B）100 （C） （D）90（）
2005年
（11）從4本不同的書中任意選出2本，不同的選法共有
（A）12種 （B）8種 （C）6種 （） （D）4種
2006年
（11）4 個人排成一行，其中甲、乙兩人總排在一起，則不同的排法有
（A）3種 （B）6種 （C）12種 （） （D）24種
2007年
（16）在一次共有20人參加的老同學聚會上，如果每二人握手一次，那么這次聚會共握手多少次？
（A）400 （B）380 （C）240 （D）190
2008年
（12）某學生從6門課程中選修3門，其中甲課程必選修，則不同的選課方案共有
（A）4種 （B）8種 （C）10種 （D）20種
（甲課程必選，從其他5門課程任選2門的組合數(shù)為）
十六、概率與統(tǒng)計初步
2001年
(15)任意拋擲三枚相同的硬幣，恰有一枚國徽朝上的概率是（ ）
(A) (B) (C) (D)
2002年
（15） 袋中裝有3只黑球，2只白球，一次取出2只球，恰好黑白各一只的概率是（ ）
（A） （B） （C） （D）
（19）設離散型隨機變量的概率分布列是
則的數(shù)學期望是 0.3 （）。
2003年
（12）從3個男生和3個女生中選出二個學生參加文藝匯演，選出的全是女生的概率是
（A） （B） （C） （D）
（18）某籃球隊參加全國甲級聯(lián)賽，任選該隊參賽的10場比賽，其得分情況如下
99， 104， 87， 88， 96， 94， 100， 92， 108， 110
則該籃球隊得分的樣本方差為 56.16
2004年
（11）擲兩枚硬幣，它們的幣值面都朝上的概率是
（A） （B） （C） （D）
（19）從籃球隊中隨機選出5名隊員，他們的身高分別為（單位cm）
180， 188， 200， 195， 187
則身高的樣本方差為 47.6
2005年
（15）8名選手在8條跑道的運動場上進行百米賽跑，其中有2名中國選手。按隨機抽簽的方式決定選手的跑道，2名中國選手在相鄰的跑道上的概率為
（A） （B） （C） （D）
（19）從一批袋裝食品中抽取5袋分別稱重，結果（單位：g）如下：
98.6，100.1，101.4，99.5，102.2
該樣品的方差為 1.7 （）（精確到0.1）
列表求解如下：
|
98.6
|
100.1
|
101.4
|
99.5
|
102.2
|
|
-1.76
|
-0.26
|
1.04
|
-0.86
|
1.84
|
|
3.0976
|
0.0676
|
1.0816
|
0.7396
|
3.3856
|
2006年
（16）兩個盒子內各有三個同樣的小球，每個盒子內的小球分別標有1，2，3這三個數(shù)字，從兩個盒子中分別任意取出一個小球，則取出的兩個球上所標示數(shù)字的和為3的概率是
（A） （B）( ) （C） （D）
（21）任意測量一批相同型號的制作軸承用的滾球8個，它們的外徑分別是（單位mm）
13.7 12.9 14.5 13.8 13.3 12.7 13.5 13.6
則該樣本的方差為 0.2725
2007年
（17）已知甲打中靶心的概率為0.8，乙打中靶心的概率為0.9，兩人各打靶一次，則兩人都打不中的概率為
（A）0.01 （B）0.02 （C）0.28 （D）0.72
（20）經驗表明，某種藥物的固定劑量會使人心率增加，現(xiàn)有8個病人服用同一劑量的這種藥物，心率增加的次數(shù)分別為13 15 14 10 8 12 13 11
則該樣本的方差為 4.5
2008年
（16）5個人排成一行，則甲排在中間的概率是
（A） （B） （C） （D）
（21）用一儀器對一物體的長度重復測量5次，得結果(單位:cm)如下:
1004 1001 998 999 1003
則該樣本的樣本方差為 5.2 cm2
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